در بنیادی‌ترین سطح ریاضیات، حفره‌ای تاریک وجود دارد که به ما می‌گوید هرگز نمی‌توانیم همه‌چیز را با قطعیت بدانیم. شاید همین حالا که این متن را می‌خوانید؛ گزاره‌هایی وجود داشته باشند که کاملاً درست‌اند، اما هیچ انسان، هیچ ابرکامپیوتری یا ریاضی‌دانی نمی‌تواند اثباتشان کند.

اعداد اولرا در نظر بگیرید، بلوک‌های سازنده‌ی ریاضیات که فقط بر یک و خودشان بخش‌پذیرند و گاهی بافاصله بسیار کمی از هم ظاهر می‌شوند؛ مثل ۱۱ و ۱۳، یا ۱۷ و ۱۹. به این زوج‌ها اعداد اول دوقلو می‌گویند. هرچه در محور اعداد به سمت بی‌نهایت پیش می‌رویم، اعداد اول کمیاب‌تر می‌شوند و اعداد اول دوقلو از آن هم نادرتر.

حدس مشهوریمی‌گوید بی‌نهایت عدد اول دوقلو وجود دارد و هرچقدر هم اعداد بزرگ‌تر شوند، زوج‌ها هرگز تمام نمی‌شوند. تا این لحظه کسی نتوانسته حدس را ثابت یا رد کند و شاید هرگز نتوانیم پاسخی برایش پیدا کنیم، شاید هم فردا هوش مصنوعی اثباتی برایش ارائه دهد و دوباره دنیای ریاضیات را به هم بریزد!

ریاضیات را همیشه دقیق‌ترین زبان جهان می‌دانند، پس چرا خودش نمی‌تواند همه‌ی حقایق را ثابت کند و تکلیف این حفره چه می‌شود؟

بیایید داستانِ یکی از سرگیجه‌آورترین بحران‌های فکری تاریخ علم را مرور کنیم؛ بحرانی که با رؤیای بی‌نقص‌کردن ریاضیات شروع شد؛ به کشف دیواری غیرقابل‌عبور رسید، ریاضی‌دانان زیادی را به زانو درآورد و مسیرش از ماشین تورینگ هم گذشت.

سال ۱۸۷۴، گئورگ کانتور ریاضی‌دان آلمانیمقاله‌ای منتشر کردکه یکی از سرآغازهای نظریه‌ی مجموعه‌ها شد و درشکل‌گیری پایه‌‌های ریاضیات مدرن تاثیر زیادی داشت. در این چارچوب می‌توانستید هر چیزی را درون مجموعه‌ها دسته‌بندی کنید.

دو مجموعه‌ی اعداد طبیعی و اعداد حقیقی را در نظر بگیرید. اعداد حقیقی علاوه بر اعداد صحیح، کسرها و اعداد کنگ را هم دربرمی‌گیرند. کانتور با استدلالی که امروز برهان قطری کانتورشناخته می‌شود، ثابت کرد تعداد اعداد حقیقیِ بین صفر و ۱، از تمام اعداد طبیعی که تا بی‌نهایت امتداد دارند؛ بیشتر است. بی‌نهایتِ اعداد طبیعی را شمارا و بی‌نهایتِ اعداد حقیقی را ناشمارا می‌نامند.

کار کانتور ضربه‌ای به ریاضیات سنتی زد و باعث شد جامعه‌ی ریاضی به دو مکتب فکری تقسیم شود.

جبهه اول یا شهودگرایان، ریاضیات را مخلوق ذهن انسان می‌دانستند و زیر بار بی‌نهایت‌های عجیب‌وغریب کانتور نمی‌رفتند. آنری پوانکارهزمانی گفته بود«نسل‌های آینده، نظریه مجموعه‌ها را بیماری‌ای تلقی خواهند کرد که بشر سرانجام از آن بهبود یافته است.»

جبهه‌ی دوم یا فرمالیست‌ها باور داشتند می‌توان ریاضیات را به کمک نظریه مجموعه‌ها بر پایه‌های منطقیِ کاملاً امن و شکست‌ناپذیری بنا کرد. دیوید هیلبرت ریاضی‌دان افسانه‌ای آلمانی یکی از مشهورترین چهره‌های این مکتب بود که تقریباً در تمام شاخه‌های ریاضیات ردپایی از خود به جا گذاشت و سال ۱۹۱۵هم‌زمان با اینشتینروی صورت‌بندی ریاضی نسبیت عام کار کرد.

هیلبرت باور داشتکه یک سیستم اثبات ریاضیِ صوری و سخت‌گیرانه‌تر بر پایه‌ی نظریه مجموعه‌ها می‌تواند تمام بحران‌هایی را که طی یک قرن گذشته در ریاضیات سر باز کرده بودند، برای همیشه حل کند.

طبق تعریف اولیه یک مجموعه می‌توانست شامل مجموعه‌های دیگر و حتی شامل خودش باشد. حتی می‌توان مجموعه‌ی تمام مجموعه‌ها را در نظر گرفت که آن مجموعه هم شامل خودش خواهد بود. راسل می‌پرسید اگر R مجموعه‌ی «تمام مجموعه‌هایی که عضو خودشان نیستند» باشد، آیا R عضو خودش هست یا خیر؟

اگر R عضو خودش نباشد، طبق تعریفی که برایش گذاشتیم (مجموعه‌ی چیزهایی که عضو خودشان نیستند)، پس باید عضو خودش باشد.

اما اگر عضو خودش باشد، باز هم طبق تعریف خودش (که فقط شامل مجموعه‌هایی است که عضو خودشان نیستند)، نباید عضو خودش باشد!

بیایید پارادوکس خودارجاعی را در قالب مثالی ساده شرح دهیم. فرض کنید در شهری قانونی وجود دارد که می‌گوید «یک آرایشگر فقط و فقط ریشِ کسانی را می‌تراشد که خودشان ریش خود را نمی‌تراشند». حالا آرایشگر ریش خودش را می‌تراشد یا نه؟ اگر بتراشد، قانون خودش را نقض می‌کند و اگر نتراشد، باز هم طبق قانون باید ریش خودش را بتراشد.

راسل همین معما را به زبان ریاضی و در قالب نظریه مجموعه‌ها مطرح کرد؛ پارادوکسی که نشان می‌داد که تعاریف پایه‌ای منطق چقدر شکننده‌اند. ریاضی‌دانان حس می‌کردند زیر پایشان خالی شده، انگار کل ساختمان پرشکوه ریاضیات روی یک حفره بنا شده بود.

ارنست زرملو و دیگر ریاضی‌دانانِ مکتب هیلبرت، با محدودکردن و دقیق‌تر کردن مفهوم مجموعه مشکل را حل کردند. در چهارچوب جدید، دیگر اجتماع تمام مجموعه‌ها یا اجتماع تمام مجموعه‌هایی که عضو خودشان نیستند اصلاً مجموعه محسوب نمی‌شدند.

هیلبرت می‌خواست با ساختن یک «سیستم صوری اثبات» بنیان‌های ریاضیات را برای همیشه بیمه کند. ایده‌ی دستگاه اثبات به یونان باستان برمی‌گشت، اما اصلاً سیستم صوری چیست؟ بازی شطرنج را در نظر بگیرید.

• اصول موضوعه یا آکسیوم‌هاهمان چیدمان اولیه مهره‌ها روی صفحه هستند؛ حقایق پایه‌ای که بدون نیاز به اثبات پذیرفته می‌شوند.
• قواعد استنتاج منطقیهمان قوانین حرکت مهره‌ها هستند که نشان می‌دهند چگونه مجاز هستیم از یک عبارت به‌ عبارت‌ دیگر برسیم.
• قضایاوضعیت‌های جدیدِ روی صفحه هستند که با رعایت دقیق قوانین به دست آمده‌اند.

در یک سیستم صوریِ بی‌نقص، اثبات‌کردن یک قضیه مثل فرآیند مکانیکی طبق مجموعه‌ای از قواعد مشخص و گام‌به‌گام پیش می‌رود. نیازی به شهود، معنا یا نبوغ نیست؛ فقط باید نمادها را طبق قوانین جابه‌جا کنید. هیلبرت می‌خواست در چنین سیستمی سازگار بودن، کامل‌بودن و تصمیم‌پذیری ریاضیات را ثابت کند.

• سازگار بودنیعنی هیچ تناقضی در قوانین و دستگاه موضوعه اصول ریاضی وجود ندارد.
• کامل‌بودنیعنی برای هر گزاره‌ای در یک دستگاه ریاضی، بتوان یا خود آن گزاره یا نقیضش را اثبات کرد.
• تصمیم‌پذیرییعنی روشی الگوریتمی وجود داشته باشد که همیشه و به‌طورقطع مشخص کند آیا گزاره با تعداد محدودی گام از اصول موضوعه، اثبات می‌شود یا خیر.

همه منتظر بودند تا آخرین محموله از سیمان منطق ریخته شود و حفره‌ی دنیای ریاضیات را برای همیشه ببندد. اما هیچ‌کس انتظار نداشت که یک جوان بیست و چند ساله اتریشی کل این رؤیا را برای همیشه ویران کند.

سپتامبر ۱۹۳۰، شهر کونیگسبرگ میزبان کنفرانسی بود که بزرگ‌ترین ریاضی‌دانان و فیلسوفان علم را گرد هم می‌آورد. امید و هیجان در فضا موج می‌زد و دیوید هیلبرت همان روزها سخنرانی مشهورش، «شناخت طبیعت و منطق» را ایراد کرد و قاطعانه به گروهی تاخت که معتقد بودند بعضی مسائل برای همیشه خارج از دسترس شناخت انسان باقی می‌مانند.

هیلبرتسخنرانی‌اشرا در تقابل با دیدگاه «ما نخواهیم دانست»؛ با این جمله به پایان رساند:«ما باید بدانیم؛ ما خواهیم دانست»، جمله‌ای که بعدها روی سنگ قبر او حکاکی شد.

درست یک روز قبل از این سخنرانی، در نشستی کوچک‌تر کورت گودل منطق‌دان ۲۴ ساله نتیجه‌ای را اعلام کرده بود که مستقیماً به رؤیای هیلبرت درباره‌ی سیستم کامل ریاضی ضربه می‌زد؛ او می‌گفت ساختن دستگاهی صوری که هم سازگار باشد و هم تمام حقیقت‌های حساب را تعیین تکلیف کند، ممکن نیست.

گودل اشاره کرد که در یک سیستم صوری مشخص می‌توان گزاره‌ای ساخت که درستی‌اش کاملاً بدیهی باشد، اما در چارچوب قوانین همان سیستم ریاضی اثباتی برایش پیدا نشود. در آن جلسه تقریباً هیچ‌کس به حرف‌های این جوان توجه نکرد، به جز جان فون نویمان، شاگرد سابق هیلبرت که گودل را کناری کشید تا سؤالات بیشتری بپرسد.

پیام گودل مانند پتکی تک‌جمله‌ای بر سر جامعه علمی فرود آمد، حقیقت و اثبات‌پذیری در سیستم اصلاً معادل هم نیستند. هیلبرت اشتباه می‌کرد. قضیه‌ای‌ ناتمامیت اول به زبان ساده می‌گفت

هر سیستم صوریِ سازگار و به‌اندازه‌ی کافی قدرتمند برای بیان حساب اعداد طبیعی که اصول آن به روشی الگوریتمی قابل‌فهرست‌کردن باشند، ناگزیر ناقص است؛ یعنی گزاره‌هایی وجود دارند که در آن دستگاه نه می‌توان خودشان را اثبات کرد و نه نقیضشان را.

در قضیه ناتمامیت اول، نکته‌ی بسیار ظریفی وجود دارد که معمولاً نادیده گرفته می‌شود. گودل نگفت گزاره‌ای وجود دارد که مطلقاً قابل‌اثبات نیست. او می‌گفت که آن گزاره در چارچوب همان سیستم صوری خاص قابل‌اثبات نیست.

شاید بگویید: «خب، اگر یک حقیقت درست باشد اما اثبات نمی‌شود، ما آن را به‌عنوان قانونی جدید (اصل موضوعه) به سیستم اضافه می‌کنیم تا مشکل حل شود.» گودل نشان داد که بله، شما با این کار سیستم جدید و بزرگ‌تری می‌سازید که آن خلأ خاص را پر می‌کند، اما سیستم بزرگ‌تر نیز گزاره‌های تصمیم‌ناپذیر تازه‌ای خواهد داشت که با قواعد خودش اثبات یا رد نمی‌شوند.

اما گودل چگونه توانست مفهومی انتزاعی و عجیب را با زبان سخت ریاضیات اثبات کند؟ حالا باید به ماشین خودارجاعی گودل و یکی از درخشان‌ترین ترفندهای تاریخ منطق رجوع کنیم.

اغلب ما با بازی فکری پارادوکس دروغگو آشنائیم. فرض کنید من به شما می‌گویم: «من دارم دروغ می‌گویم.» این جمله درست است یا غلط؟ اگر درست باشد، پس من واقعاً دارم دروغ می‌گویم؛ در نتیجه جمله‌ام دروغ و غلط از آب در می‌آید. اما اگر جمله‌ام غلط باشد، پس من دروغ نمی‌گویم؛ در نتیجه جمله‌ام درست است. ما با یک مدار بسته و دور باطل منطقی طرفیم که ذهن را به بن‌بست می‌کشاند.

اما همان‌طور که گفتیم، ریاضی‌دانانی مثل راسل و هیلبرت، قوانین سفت‌وسختی در سیستم‌های خود وضع کرده بودند؛ مثل ممنوعیت خودارجاعی یعنی هیچ فرمول ریاضی حق ندارد به خودش ارجاع دهد.

گودلسیستم کدگذاری خیره‌کننده‌ایاختراع کرد که به هر نماد پایه‌ای سیستم منطقی عددی یکتا اختصاص می‌داد.

خودِ اعداد طبیعی هم به کمک نمادِ تالی یا عدد بعدی (s از کلمه‌ی Successor) نشان داده می‌شدند. عدد بعدیِ صفر، یک است؛ پس برای نوشتن یک می‌نویسیم s0. برای ۲ می‌نویسیم ss0، برای ۳ می‌نویسیم sss0 و به همین ترتیب می‌توانیم هر عدد صحیح مثبتی را نشان دهیم. بله، نوشتنش طولانی و دست‌وپاگیر به‌نظر می‌رسد، اما کار می‌کند و هدف سیستم هم دقیقاً همین بود.

وقتی تمام نمادها و اعداد، عدد گودل مخصوص به خودشان را دارند، می‌توانیم معادله بنویسیم. مثلاً معادله ساده 0=0 را در نظر بگیرید. نمادهای این معادله به ترتیب دارای اعداد گودلِ ۶ (برای صفر)، ۵ (برای مساوی) و ۶ (برای صفر) هستند. کل این معادله می‌تواند عدد گودل منحصربه‌فرد خودش را داشته باشد، چطور؟

گودل سراغ اعداد اول (...۷ و ۵ و ۳ و ۲) می‌رود و هر عدد اول را به توانِ عدد گودلِ نمادِ مربوطه می‌رساند و در هم ضرب می‌کند. مثلا برای معادله 0=0 داریم

هر عدد صحیح تنها به یک روش به عوامل اول تجزیه می‌شود؛ یعنی شما می‌توانید هر دنباله‌ای از نمادها یا هر گزاره‌ای را بنویسید، به آن عدد گودلِ منحصربه‌فردی بدهید و برعکس، با تجزیه‌ی هر عدد گودل به عوامل اولش، به گزاره‌ی آن پی ببرید.

برای اینکه درستی یک گزاره‌ را ثابت کنیم باید به سراغ اکسیوم‌ها یا اصول موضوعه برویم که آن‌ها هم اعداد گودل خودشان را دارند. مثلاً یکی از اصول می‌گوید: (sx=0)¬ یعنی عدد بعدی هیچ عددی نمی‌تواند صفر باشد، چون در اعداد حسابی منفی نداریم. اگر در این اصل x را معادل یک بگیرید، خروجی می‌شود 0≠1 و حتی خود این اثبات هم عدد گودل خاص خودش را می‌گیرد.

حتی یک اثبات کاملِ ریاضی که صفی طولانی از معادلات بود، می‌توانست به یک عدد نجومی و واحد تبدیل شود. این ایده، شباهت شگفت‌انگیزی به نحوه کار کامپیوترهای امروزی دارد؛ جایی که هر حرف، تصویر یا ویدیو در نهایت به کدهای صفر و یک تبدیل می‌شود.

گودل با استفاده از سیستم شماره‌گذاری، نسخه ریاضی پارادوکس دروغگو را ساخت، با این تفاوت که مفهوم «دروغ/ غلط» حذف شد و مفهوم «غیرقابل‌اثبات» جایش را گرفت. گودل توانست معادله‌ای بسازد که پس از رمزگشایی چنین مفهومی می‌داد «هیچ اثباتی برای گزاره‌ای که عدد گودل آن g است، وجود ندارد.» و اتفاقاً عدد گودل این معادله g بود.

معادله گودل دیگر ربطی به بازی‌های زبانی نداشت؛ فرمولی صحیح و قانونی در هسته‌ی ریاضیات بود که به همان فضای اثبات‌ناپذیر اشاره می‌کرد.

اکنون بیایید گزاره g را برداریم و وارد سیستم رؤیایی هیلبرت کنیم که ادعا می‌کرد برای هر چیزی، یا اثباتی دال بر درستی‌اش ارائه می‌دهد یا دلیلی برای ردکردنش. ماشین اثبات‌گرِ شروع به کار می‌کند تا تکلیف گزاره g را مشخص کند. از نظر منطقی فقط دو حالت رخ می‌دهد.

اگر گزاره‌ غلط باشد، یعنی برعکسِ ادعایش، یک اثبات برایش وجود دارد. اما اگر شما موفق شوید گزاره را اثبات کنید، یعنی رسماً اثبات کرده‌اید که «هیچ اثباتی برای گزاره وجود ندارد». در این حالت، شما گزاره‌ای را اثبات کرده‌اید که خودش می‌گوید اثبات‌پذیر نیست؛ یعنی به یک تناقض رسیده‌اید و سیستم ریاضی شما سازگار نیست.

شما با حفره‌ی ریاضیات آشنا شدید. گودل نشان داد که راه فراری نیست، در هر سیستم ریاضیِ پایه‌ای که بتواند حساب مقدماتی را انجام دهد، همیشه گزاره‌هایی وجود دارند که درست هستند، اما هرگز نمی‌توان آن‌ها را اثبات کرد.

رؤیای دیوید هیلبرت برای پر کردن تمام فضاهای خالی و ساختن ماشین حقیقت در برابر چشمان همه، توسط چند فرمول منطقی و یک خودارجاعی بی‌نظیر نابود شد، اما این تازه آغاز ماجرا بود.

قبلاً گفتیم هیلبرت می‌خواست ریاضیات سازگاری خودش را ثابت کند؛ اما گودل بلافاصله قضیه دوم ناتمامیت خود را منتشر کرد و آب پاکی را روی دست فرمالیست‌ها ریخت. او ثابت کرد که هیچ سیستم صوریِ سازگاری در ریاضیات، نمی‌تواند سازگاری خودش را اثبات کند.

وقتی دو قضیه را کنار هم بگذاریم، می‌بینیم شاید سیستمی سازگار اما ناکامل داشته باشیم، ولی همان سیستم هم نمی‌تواند سازگاری‌اش را از درون خودش ثابت کند. مثل‌اینکه بگوییم یک ذهن نمی‌تواند صرفاً باتکیه‌بر استدلال‌های خودش، سلامت روان خودش را به طور قطعی اثبات کند؛ زیرا یک ذهن مجنون هم می‌تواند همان استدلال‌ها را برای اثبات سلامتش ارائه دهد.

اگر یک سیستم ریاضی به مرحله‌ای برسد که بتواند با قوانین خودش گزاره‌ی «من هیچ حفره و تناقضی ندارم» را اثبات کند، اثباتش معتبر نیست، چرا که سیستم‌های ناسازگار هم می‌توانند هر چیزی از جمله سازگاری خودشان را به‌دروغ اثبات کنند.

رؤیای هیلبرت با قضیه‌ی دوم ناتمامیت به طور کامل متوقف شد. ریاضیات هرگز نمی‌تواند تضمینی درونی برای بی‌نقص بودن خود ارائه دهد. برای اطمینان از صحت یک سیستم، همواره باید به سیستمی بزرگ‌تر و بیرونی‌تر پناه برد، که آن سیستم هم به نوبه خود نیازمند تأییدی از بیرون خواهد بود.

سال ۱۹۳۶، آلن تورینگریاضی‌دان ۲۴ ساله‌ی بریتانیایی، با معرفی ماشین انتزاعی خود که بعدها به ماشین تورینگ مشهور شد، به سومین خواسته‌ی هیلبرت نیز پاسخ منفی داد. او ثابت کرد نمی‌توان الگوریتمی همگانی ساخت که هر مسئله‌ی منطقی را دریافت کند و در تعداد محدودی گام، پاسخ دهد آیا آن مسئله با قواعد منطق قابل‌اثبات است یا نه.

برداشت‌های نادرست زیادی درباره کشف بزرگ گودل وجود دارد. بسیاری از افراد و حتی برخی فلاسفه با خواندن قضیه ناتمامیت از «اشتباه بودن ریاضیات» می‌گویند، منطق را ابزاری سلیقه‌ای خطاب می‌کنند و مدعی می‌شوند که هیچ قطعیت مطلقی وجود ندارد. اما این نتیجه‌گیری‌ها کاملاً از هدف اصلی فاصله دارند.

خود کورت گودل افلاطونی سرسختی بود. او عمیقاً باورداشت که مفاهیم و حقایق ریاضی، مستقل از ذهن انسان، در جهانی مجرد و ایده‌آل وجود دارند و ما صرفاً آن‌ها را کشف می‌کنیم، نه اختراع. پیامش این نبود که حقیقت وجود ندارد؛ برعکس او می‌گفت حقیقت آن‌قدر عظیم، مستقل و غنی است که نمی‌توان آن را در سیستم صوری و مجموعه‌ای از قوانین مکانیکی زندانی کرد.

سیستم‌های اثبات و منطق ما، شبیه تورهای ماهیگیری‌اند. هر چقدر هم که تور را بزرگ‌تر کنیم، تاروپودش را ریزتر ببافیم و قوانین بیشتری به سیستم اضافه کنیم، باز هم ماهی‌هایی در اقیانوس حقیقت وجود دارند که از لابه‌لای شبکه‌های این تور فرار می‌کنند. گودل نشان داد که هرگاه ریاضیات را گسترش دهیم تا یک حقیقت اثبات‌ناپذیر را پوشش دهد، بلافاصله حقایق اثبات‌ناپذیر جدیدی در لبه‌های این مرز تازه متولد می‌شوند.