فکر می‌کنید در ریاضیات مهارت دارید؟ ببینید با این ۱۰ مسئله حل‌نشده تا کجا می‌توانید پیش بروید

اکنون با ۱۰ مسئله دشوار در دنیای ریاضی روبرو هستید، شاید شانس شما از ریاضی‌دانان گذشته برای حل آن بیشتر باشد، شاید هم نه.

با وجود تمام پیشرفت‌های اخیر در دنیای ریاضیات، ما همچنان در جستجوی دانشی عمیق‌تر از اعداد، پیوسته در حال انجام محاسبات هستیم. برخی از مسائل ریاضی قرن‌هاست که ما را به چالش کشیده‌اند، اما یک مرز جدید می‌تواند این وضعیت را تغییر دهد: هوش مصنوعی.

در ۱۰ مرداد (۱ آگوست)، شرکت تحقیقاتی هوش مصنوعی OpenAI اعلام کرد که مدل بعدی آن یعنی Astra، تعداد ۱۰ مسئله دیرینه ریاضی را حل کرده یا در روند حل آن‌ها پیشرفت‌هایی داشته است. برخی از مسائلی که آسترا با آن‌ها دست‌وپنجه نرم کرده شامل حدس صلبیت کن (Connes’s rigidity conjecture)، تکرار موازی کوانتومی (quantum parallel repetition) و حدس حجم ارهارت (Ehrhart’s volume conjecture) است. به طور مشابه، شرکت Anthropic، یک کمپانی دیگر در حوزه هوش مصنوعی، نیز اخیرا اعلام کرد که نسخه منتشرنشده‌ای از مدل این شرکت یعنی Claude، پیشرفت‌های قابل‌توجهی در حل فرضیه ریمان از طریق مفهومی به نام تابع زتای ریمان داشته است.

با این حال، شرکت آنتروپیک خاطرنشان می‌کند:

انتظار نمی‌رود تکنیک‌هایی که Claude استفاده کرده منجر به اثبات کامل فرضیه ریمان شود. اما کار این مدل، تازه‌ترین نمونه از سرعت پیشرفت در قابلیت‌های ریاضی مدل‌های هوش مصنوعی است.

طبق مصاحبه اخیری که توسط رسانه The Verge منتشر شده، ریاضی‌دانان در برابر احتمال پیشرفت‌های شتاب‌گرفته به کمک هوش مصنوعی، همزمان هم هیجان‌زده و هم بدبین به نظر می‌رسند. در واقع، این نگرانی تا جایی گسترش یافته که ریاضیدانان خواستار ایجاد چارچوب‌ها و محدودیت‌های اخلاقی برای حفظ یکپارچگی تحقیقات در این حوزه شده‌اند. در ماه ژوئن، تیمی از پژوهشگران اعلامیه لیدن در زمینه هوش مصنوعی و ریاضیات را پیشنهاد دادند که شامل فهرستی از دستورالعمل‌های پیشنهادی و فراخوانی برای اقدام سایر محققان است.

اگرچه مسائل بسیار پیچیده و چالش‌برانگیز، مانند مواردی که این مدل‌های هوش مصنوعی اخیرا با آن‌ها روبه‌رو شده‌اند، ممکن است غیرممکن به نظر برسند، اما بالاخره یک نفر روزی آن‌ها را حل خواهد کرد. خب، شاید! در حال حاضر، شما هم می‌توانید بخت خود را در حل سخت‌ترین مسائل ریاضی شناخته‌شده برای انسان و ماشین امتحان کنید. شاید شما همان کسی باشید که در نهایت پاسخ را پیدا می‌کند.

۱۰. فرضیه ریمان (The Riemann Hypothesis)

با وجود تلاش‌های اخیر هوش مصنوعی کلود، فرضیه ریمان همچنان حل‌نشده باقی مانده است. با این حال، احتمالا ریاضیدانان امروزی موافق‌اند که این مهم‌ترین مسئله باز در تمام دنیای ریاضیات است. این فرضیه یکی از هفت مسئله جایزه هزاره است. مسائل جایزه هزاره، هفت مسئله بسیار مهم در ریاضیات هستند که در سال ۲۰۰۰ توسط موسسه کلی مطرح شدند و برای حل هر کدام از آن‌ها، ۱ میلیون دلار جایزه تعیین شده است. این فرضیه پیامدهای عمیقی در شاخه‌های مختلف ریاضیات دارد، اما در عین حال آن‌قدر ساده است که می‌توانیم ایده اصلی‌اش را همین‌جا توضیح دهیم.

تابعی به نام تابع زتای ریمان وجود دارد که در تصویر بالا به آن اشاره شده است.

برای هر متغیر s، این تابع یک مجموع بی‌نهایت را تولید می‌کند که محاسبه آن حتی برای ساده‌ترین مقادیر s نیازمند آشنایی با حسابان پایه است. به عنوان مثال، اگر s=2 باشد، آنگاه 𝜁(s) همان سری معروف 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … خواهد بود که به شکلی عجیب و شگفت‌انگیز، مجموع آن دقیقا برابر با 𝜋²/6 می‌شود. اما زمانی که s یک عدد مختلط باشد، یعنی عددی که به فرم a+b𝑖 نوشته می‌شود و در آن i نشان‌دهنده عدد موهومی (رادیکال منفی یک) است، پیدا کردن مقدار 𝜁(s) بسیار پیچیده و دشوار می‌شود.

در واقع آن‌قدر دشوار که به غایی‌ترین سوال ریاضیات تبدیل شده است. به طور دقیق‌تر، فرضیه ریمان درباره این است که چه زمانی خروجی تابع 𝜁(s)=0 می‌شود؛ بیان رسمی این فرضیه می‌گوید:

هر صفر غیربدیهی تابع زتای ریمان، دارای بخش حقیقی 1/2 است.

توابع ریاضی می‌توانند صفرهایی داشته باشند، یعنی نقاطی که در آن‌ها خروجی تابع صفر می‌شود. ریمان حدس زد که همه صفرهای پیچیده و مهم این تابع، روی یک خط عمودی خاص در نمودار قرار می‌گیرند. در صفحه اعداد مختلط، این بدان معناست که تابع در امتداد یک خط عمودی خاص، رفتار مشخصی دارد. این فرضیه پیش‌بینی می‌کند که این رفتار در امتداد آن خط تا بی‌نهایت ادامه دارد.

این فرضیه و تابع زتا توسط ریاضیدان آلمانی، برنهارت ریمان در سال ۱۸۵۹ توصیف شدند. ریمان آن‌ها را هنگام مطالعه اعداد اول و نحوه توزیع آن‌ها توسعه داد. درک ما از اعداد اول در ۱۶۰ سال گذشته بسیار شکوفا شده است و ریمان هرگز قدرت ابررایانه‌های امروزی را تصور هم نمی‌کرد. اما عدم وجود راه‌حلی برای فرضیه ریمان، یک مانع و شکست بزرگ در این زمینه محسوب می‌شود.

اگر فرضیه ریمان همین فردا حل شود، بهمنی از پیشرفت‌های بعدی را به راه خواهد انداخت و اخبار عظیمی در سراسر شاخه‌های نظریه اعداد و آنالیز ریاضی به همراه خواهد داشت. تا آن زمان، فرضیه ریمان به عنوان یکی از بزرگترین سدهای مقابل رودخانه تحقیقات ریاضی باقی می‌ماند.

۹. حدس کولاتز (The Collatz Conjecture)

در سپتامبر ۲۰۱۹، اخباری مبنی بر پیشرفت در این معمای ۸۲ ساله منتشر شد، که این پیشرفت به لطف ریاضیدان پرکار و برجسته، ترنس تائو به دست آمد. اگرچه داستان موفقیت پیشرفت تائو بسیار امیدوارکننده به نظر می‌رسد، اما این مسئله هنوز به طور کامل حل نشده است.

مروری بر حدس کولاتز: همه چیز به تابعی به نام f(n) مربوط می‌شود که اعداد زوج را می‌گیرد و آن‌ها را نصف می‌کند، در حالی که اعداد فرد را سه برابر کرده و سپس با ۱ جمع می‌کند. هر عدد طبیعی که دوست دارید را در نظر بگیرید (اعداد صحیح مثبت از ۱ تا بی‌نهایت)، تابع f را روی آن اعمال کنید، و سپس دوباره و دوباره تابع f را روی جواب‌های به‌دست‌آمده اعمال کنید. برای تک‌تک اعدادی که تا به حال بررسی کرده‌ایم، این الگو در نهایت به عدد ۱ ختم می‌شود. حدس کولاتز می‌گوید که این الگو برای همه اعداد طبیعی صادق است و همگی به ۱ می‌رسند.

کار تائو از جهات ظریفی یک راه‌حل بسیار نزدیک برای حدس کولاتز محسوب می‌شود. اما همان‌طور که خود تائو بعدا توضیح داد، او به احتمال زیاد نمی‌تواند روش‌های خود را به گونه‌ای تطبیق دهد که به یک راه‌حل جامع و کامل برای این مسئله منجر شود. بنابراین، ممکن است مجبور باشیم دهه‌ها بیشتر روی آن کار کنیم.

این حدس در شاخه‌ای از ریاضیات به نام سیستم‌های دینامیکی (dynamical systems) قرار دارد؛ یعنی مطالعه موقعیت‌هایی که در طول زمان به روش‌های نیمه‌قابل‌پیش‌بینی تغییر می‌کنند. این حدس در ظاهر یک سوال ساده و بی‌خطر به نظر می‌رسد، اما همین موضوع است که آن را خاص می‌کند. چرا پاسخ دادن به چنین سوال پایه‌ای این‌قدر سخت است؟ این مسئله به عنوان معیاری برای سنجش سطح درک و دانش ما عمل می‌کند؛ زمانی که بتوانیم آن را حل کنیم، آن‌گاه می‌توانیم به سراغ مسائل بسیار پیچیده‌تری برویم.

مطالعه سیستم‌های دینامیکی می‌تواند بسیار قوی‌تر و گسترده‌تر از آن چیزی شود که امروز کسی بتواند تصور کند. اما برای شکوفایی این شاخه، نیازمند آن هستیم که ابتدا حدس کولاتز را حل کنیم.

۸. حدس گلدباخ (Goldbach’s Conjecture)

یکی از بزرگترین اسرار حل‌نشده در ریاضیات، در عین حال برای نوشتن روی کاغذ بسیار ساده است. حدس گلدباخ می‌گوید:

هر عدد زوج (بزرگ‌تر از دو) برابر است با حاصل‌جمع دو عدد اول.

اعداد اول، اعدادی هستند که فقط بر یک و خودشان بخش‌پذیرند، مثل ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱ و …. شما می‌توانید این موضوع را برای اعداد کوچک در ذهن خود به سادگی بررسی کنید: ۱۸ برابر است با ۱۳+۵ و ۴۲ برابر است با ۲۳+۱۹. رایانه‌ها این حدس را برای اعداد تا بزرگی‌های بسیار مشخصی بررسی و تایید کرده‌اند. اما ما به یک اثبات ریاضی برای تمام اعداد طبیعی نیاز داریم تا کاملا مطمئن شویم.

حدس گلدباخ از نامه‌هایی سرچشمه گرفت که در سال ۱۷۴۲ بین ریاضیدان آلمانی کریستیان گلدباخ و ریاضیدان افسانه‌ای سوئیسی لئونارد اویلر که یکی از بزرگترین نام‌ها در تاریخ ریاضیات محسوب می‌شود رد و بدل شد. همان‌طور که اویلر بیان کرد:

من این را به عنوان یک قضیه کاملا قطعی در نظر می‌گیرم، اگرچه نمی‌توانم آن را اثبات کنم.

اویلر احتمالا حس کرده بود که چه چیزی باعث می‌شود حل این مسئله به طور دور از انتظاری سخت باشد. وقتی به اعداد بزرگ‌تر نگاه می‌کنید، راه‌های بیشتری (و نه کمتری) برای نوشتن آن‌ها به صورت حاصل‌جمع دو عدد اول وجود دارد. مثلا همان‌طور که ۵+۳ تنها راه برای تجزیه عدد ۸ به دو عدد اول است، اما عدد ۴۲ را می‌توان به صورت‌های ۳۷+۵، ۳۱+۱۱، ۲۹+۱۳ و ۲۳+۱۹ تجزیه کرد. بنابراین احساس می‌شود که حدس گلدباخ برای اعداد بسیار بزرگ حتی دست‌کم گرفته شده است (زیرا راه‌های متعددی برای اثبات آن در اعداد بزرگ وجود دارد).

با این حال، ارائه یک اثبات قطعی از این حدس برای همه اعداد، تا به امروز از چنگ ریاضیدانان گریخته است. این مسئله همچنان به عنوان یکی از قدیمی‌ترین سوالات باز در تمام دنیای ریاضیات پابرجاست.

۷. حدس اعداد اول دوقلو (The Twin Prime Conjecture)

در کنار حدس گلدباخ، حدس اعداد اول دوقلو معروف‌ترین مسئله در نظریه اعداد است، شاخه‌ای که به مطالعه اعداد طبیعی و خواص آن‌ها می‌پردازد و اغلب با اعداد اول سروکار دارد. از آنجا که شما این اعداد را از دوران دبستان می‌شناسید، بیان صورت مسئله این حدس‌ها بسیار آسان است.

زمانی که دو عدد اول دقیقا ۲ واحد اختلاف داشته باشند، به آن‌ها اعداد اول دوقلو می‌گویند. بنابراین ۱۱ و ۱۳ اعداد اول دوقلو هستند، همان‌طور که ۵۹۹ و ۶۰۱ نیز دوقلو هستند. کسانی که نظریه اعداد را مطالعه می‌کنند خیلی زود در همان ابتدا یاد می‌گیرند که بی‌نهایت عدد اول وجود دارد. پس سوال این است: آیا بی‌نهایت عدد اول دوقلو هم وجود دارد؟ حدس اعداد اول دوقلو می‌گوید: بله.

بیایید کمی عمیق‌تر شویم. عدد اول در یک جفت اول دوقلو، (تنها با یک استثنا) همیشه ۱ واحد کمتر از مضربی از عدد ۶ است. و بنابراین عدد دوم در این جفت دوقلو، همیشه ۱ واحد بیشتر از مضربی از ۶ است. اگر آماده باشید که کمی بحث‌های فکری نظریه اعداد را دنبال کنید، می‌توانید دلیل آن را متوجه شوید:

همه اعداد اول پس از عدد ۲، فرد هستند. اعداد زوج همیشه ۰، ۲ یا ۴ واحد بیشتر از مضربی از ۶ هستند، در حالی که اعداد فرد همیشه ۱، ۳ یا ۵ واحد بیشتر از مضربی از ۶ هستند. خب، یکی از این سه احتمال گفته‌شده برای اعداد فرد، مشکل ایجاد می‌کند. اگر عددی ۳ واحد بیشتر از مضربی از ۶ باشد، آنگاه فاکتوری از ۳ در خود دارد (یعنی بر ۳ بخش‌پذیر است). داشتن فاکتوری از ۳ به این معناست که آن عدد نمی‌تواند یک عدد اول باشد (تنها استثنا خود عدد ۳ است). و به همین دلیل است که هر سومین عدد فرد (در این الگو) نمی‌تواند یک عدد اول باشد.

حالتان بعد از خواندن پاراگراف بالا چطور است؟ حالا سردرد تمام کسانی که در ۱۷۰ سال گذشته تلاش کرده‌اند این مسئله را حل کنند، تصور کنید!

خبر خوب این است که در یک دهه گذشته پیشرفت‌های امیدوارکننده‌ای در این زمینه داشته‌ایم. ریاضیدانان موفق شده‌اند با نسخه‌های نزدیک‌تر و نزدیک‌تری از حدس اعداد اول دوقلو دست‌وپنجه نرم کنند. ایده آن‌ها این بود: در اثبات اینکه بی‌نهایت عدد اول با اختلاف ۲ وجود دارد، مشکل دارید؟ نظرتان چیست که اثبات کنیم بی‌نهایت عدد اول با اختلاف ۷۰,۰۰۰,۰۰۰ وجود دارد؟ این موضوع به طرز هوشمندانه‌ای در سال ۲۰۱۳ توسط ییتانگ ژانگ در دانشگاه نیوهمپشایر اثبات شد.

طی چند سال گذشته، ریاضیدانان در حال بهبود دادن و کوچک کردن آن عدد بزرگ در اثبات ژانگ بوده‌اند و توانسته‌اند آن را از میلیون‌ها به صدها کاهش دهند. رساندن این عدد در تمام طول مسیر تا رسیدن به عدد ۲، به منزله حل کامل حدس اعداد اول دوقلو خواهد بود. با در نظر گرفتن برخی فرضیات فنی و ظریف، نزدیک‌ترین عددی که تاکنون به آن رسیده‌ایم ۶ است. اخیرا یک پیش‌نویس مقاله از موسسه علوم ریاضی آفریقا در غنا ادعا داشته که این حدس را به طور کامل اثبات کرده است، هرچند این ادعا هنوز باید مورد داوری و بررسی دقیق سایر دانشمندان قرار گیرد. گذر زمان مشخص خواهد کرد که آیا برداشتن این گام آخر از ۶ به ۲ در همین نزدیکی‌هاست، یا اینکه این بخش نهایی قرار است ریاضیدانان را برای دهه‌های متمادی دیگر به چالش بکشد.

۶. حدس برچ و سوینرتون-دایر (The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)

حدس برچ و سوینرتون-دایر یکی دیگر از شش مسئله حل‌نشده جایزه هزاره است و این تنها مسئله دیگری در میان آن‌هاست که می‌توانیم تا حدودی آن را به زبان ساده توصیف کنیم. این حدس شامل مبحثی در ریاضیات به نام منحنی‌های بیضوی (elliptic curves) می‌شود.

یکی از بزرگترین دستاوردهای ریاضیات در قرن بیستم، کشف راه‌حلی برای یک مسئله دشوار دیگر به نام قضیه آخر فرما (Fermat’s last theorem) بود. سر اندرو وایلز این مسئله را با استفاده از همین منحنی‌های بیضوی حل کرد. بنابراین، می‌توانید به این مبحث به چشم یک شاخه جدید و بسیار قدرتمند در ریاضیات نگاه کنید.

به طور خلاصه، یک منحنی بیضوی نوع خاصی از تابع ریاضی است. آن‌ها شکل ظاهرا بی‌خطری به فرم y²=x³+ax+b به خود می‌گیرند. مشخص شده است که توابعی شبیه به این، دارای خواصی هستند که بینشی عمیق در مورد مباحث مهم ریاضی مانند جبر و نظریه اعداد ارائه می‌دهند.

ریاضیدانان بریتانیایی، برایان برچ و پیتر سوینرتون-دایر، حدس خود را در دهه ۱۹۶۰ توسعه دادند. بیان دقیق و رسمی این حدس بسیار فنی و تخصصی است و در طول سالیان متمادی تکامل یافته است.

۵. مسئله عدد بوسه (The Kissing Number Problem)

دسته وسیعی از مسائل در ریاضیات به نام مسائل بسته‌بندی کره‌ها (sphere packing problems) شناخته می‌شوند. این مسائل طیف گسترده‌ای از ریاضیات محض تا کاربردهای عملی را در بر می‌گیرند؛ و عموما بیانگر استفاده از اصطلاحات ریاضی برای ایده روی هم چیدن تعداد زیادی کره در یک فضای مشخص (مانند چیدن میوه‌ها در یک فروشگاه) هستند. برخی از سوالات در این حوزه راه‌حل‌های کاملی دارند، در حالی که برخی از سوالات ساده ما را سردرگم کرده‌اند، مانند مسئله عدد بوسه (تعداد مماس‌ها).

وقتی دسته‌ای از کره‌ها در یک ناحیه فشرده می‌شوند، هر کره دارای یک عدد بوسه است، که به معنای تعداد کره‌های دیگری است که با آن در تماس فیزیکی (مماس) هستند؛ اگر شما با ۶ کره همسایه در تماس باشید، عدد بوسه شما ۶ است. هیچ چیز پیچیده‌ای در این مفهوم وجود ندارد. یک دسته فشرده از کره‌ها دارای میانگینی از اعداد بوسه خواهد بود که به توصیف ریاضی آن وضعیت کمک می‌کند. اما یک سوال پایه‌ای در مورد عدد بوسه همچنان بی‌پاسخ مانده است.

ابتدا، نکته‌ای درباره ابعاد (ابعاد فضا). ابعاد در ریاضیات معنای خاصی دارند: آن‌ها محورهای مختصاتی مستقل از هم هستند. محور x و محور y دو بُعد از یک صفحه مختصات را نشان می‌دهند. وقتی یکی از شخصیت‌های سریال‌های علمی-تخیلی می‌گوید که به بُعد دیگری می‌رود، این حرف از نظر ریاضی منطقی نیست. شما که نمی‌توانید به محور x سفر کنید!

یک چیز تک‌بُعدی یک خط است و یک چیزِ دوبُعدی یک صفحه مسطح است. برای این اعداد پایین (فضاهای کم‌بُعد)، ریاضیدانان حداکثر مقدار ممکن برای عدد بوسه کره‌ها در آن ابعاد را اثبات کرده‌اند. این عدد در یک خط تک‌بُعدی برابر با ۲ است، یک کره در سمت چپ شما و دیگری در سمت راست شماست. برای ۳ بُعد، اثباتی برای یک عدد دقیق وجود دارد، اگرچه رسیدن به آن اثبات تا دهه ۱۹۵۰ طول کشید (در فضای سه‌بعدی این عدد ۱۲ است).

فراتر از ۳ بُعد، مسئله عدد بوسه اکثرا حل‌نشده باقی مانده است. ریاضیدانان به آرامی احتمالات را برای فضاهای تا ۲۴ بُعد محدود کرده و به بازه‌های نسبتا باریکی رسانده‌اند، که تنها چند مورد از آن‌ها دقیقا شناخته شده است. اما برای اعداد بزرگ‌تر یا یک فرمول کلی، این مسئله کاملا باز و حل‌نشده است. موانع متعددی بر سر راه یک راه‌حل کامل وجود دارد، از جمله محدودیت‌های پردازشی کامپیوترها. بنابراین باید انتظار داشت که پیشرفت‌های تدریجی در حل این مسئله برای سال‌های آینده ادامه یابد.

۴. مسئله باز کردن گره (The Unknotting Problem)

ساده‌ترین نسخه از مسئله باز کردن گره حل شده است، بنابراین این داستان پیش‌تر با موفقیت‌هایی همراه بوده است. اما حل نسخه کامل و جامع این مسئله یک پیروزی به مراتب بزرگتر خواهد بود.

احتمالا شما تا به حال نام مبحث ریاضی نظریه گره‌ها (knot theory) را نشنیده‌اید. این نظریه تقریبا در هیچ دبیرستانی و تنها در معدود دانشگاه‌هایی تدریس می‌شود. ایده اصلی در اینجا این است که سعی کنیم مفاهیم ریاضی رسمی (مانند اثبات‌ها) را روی گره‌ها پیاده کنیم؛ گره‌هایی مثل… خب، همان گره‌هایی که با آن‌ها بند کفش‌هایتان را می‌بندید!

برای مثال، شما ممکن است بدانید چگونه یک گره مربعی (square knot) و یک گره مادربزرگ (granny knot) ببندید. هر دو دارای مراحل یکسانی هستند با این تفاوت که در گره مادربزرگ یک پیچش نسبت به گره مربعی برعکس انجام می‌شود. اما آیا می‌توانید به لحاظ ریاضی اثبات کنید که این دو گره با هم تفاوت دارند؟ خب، متخصصان نظریه گره می‌توانند.

جام مقدس متخصصان نظریه گره، یافتن الگوریتمی بود که بتواند تشخیص دهد آیا یک کلاف درهم‌تنیده واقعا گره خورده است، یا اینکه می‌توان آن را از هم باز کرد تا به هیچ تبدیل شود (یک حلقه ساده و بدون گره). خبر جذاب این است که این کار با موفقیت انجام شده است! چندین الگوریتم کامپیوتری در ۲۰ سال گذشته برای این منظور نوشته شده‌اند و حتی برخی از آن‌ها این فرآیند را به صورت انیمیشن نشان می‌دهند.

اما مشکل اصلی مسئله باز کردن گره در بخش پردازش محاسباتی آن نهفته است. به زبان فنی، مشخص شده که مسئله باز کردن گره در کلاس NP قرار دارد، اما ما نمی‌دانیم که آیا در کلاس P نیز هست یا خیر. (کلاس P شامل مسائلی است که رایانه‌ها می‌توانند آن‌ها را در زمانی منطقی و به سرعت حل کنند. کلاس NP شامل مسائلی است که اگرچه بررسی درستی پاسخ آن‌ها سریع است، اما پیدا کردن خود پاسخ از ابتدا ممکن است به زمان فوق‌العاده زیادی نیاز داشته باشد). این موضوع به طور تقریبی بدان معناست که ما می‌دانیم الگوریتم‌های ما توانایی باز کردن گره‌هایی با هر میزان پیچیدگی را دارند، اما وقتی گره‌ها پیچیده‌تر می‌شوند، اجرای این الگوریتم‌ها به مدت زمانی غیرممکن و طولانی نیاز خواهد داشت. حداقل تا الان که وضعیت این‌گونه است.

اگر کسی الگوریتمی پیدا کند که بتواند هر گرهی را در زمان به‌اصطلاح چندجمله‌ای باز کند (زمان چندجمله‌ای یعنی زمانی که با پیچیده‌تر شدن مسئله با شیبی منطقی افزایش می‌یابد و حل آن با کامپیوتر عملا ممکن است)، آن‌گاه پرونده مسئله باز کردن گره به طور کامل بسته خواهد شد. از سوی دیگر، ممکن است شخصی به لحاظ ریاضی اثبات کند که انجام چنین کاری اصلا غیرممکن است و اینکه شدت پردازش محاسباتی در این مسئله، به شکلی اجتناب‌ناپذیر بسیار عظیم است. در نهایت، روزی متوجه خواهیم شد.

۳. پروژه کاردینال بزرگ (The Large Cardinal Project)

اگر تا به حال نام کاردینال‌های بزرگ را نشنیده‌اید، آماده یادگیری شوید. در اواخر قرن نوزدهم، یک ریاضیدان آلمانی به نام گئورگ کانتور کشف کرد که بی‌نهایت، در اندازه‌های متفاوتی وجود دارد! کانتور به روشی عمیقا ریاضی اثبات کرد که برخی از مجموعه‌های بی‌نهایت، به معنای واقعی کلمه دارای اعضای بیشتری نسبت به سایر مجموعه‌های بی‌نهایت هستند.

اندازه اولین بی‌نهایت که کوچکترین بی‌نهایت است، با نماد ℵ₀ نشان داده می‌شود. این نماد از حرف عبری الف (aleph) گرفته شده و الف-صفر خوانده می‌شود. این نماد نشان‌دهنده اندازه مجموعه اعداد طبیعی است، بنابراین به شکل |ℕ|=ℵ₀ نوشته می‌شود.

در مرحله بعد، برخی از مجموعه‌های رایج، اندازه‌ای بزرگ‌تر از ℵ₀ دارند. نمونه اصلی که کانتور آن را اثبات کرد این است که مجموعه اعداد حقیقی بزرگ‌تر است و به صورت |ℝ|>ℵ₀ نوشته می‌شود. اما اعداد حقیقی نیز در مقیاس بی‌نهایت‌ها آن‌قدرها بزرگ نیستند؛ ما تازه شروع به کشف اندازه‌های بی‌نهایت کرده‌ایم.

برای چیزهای واقعا غول‌پیکر، ریاضیدانان به طور مداوم در حال کشف اندازه‌های بزرگ‌تر و بزرگ‌تری هستند که ما آن‌ها را کاردینال‌های بزرگ (large cardinals) می‌نامیم. این فرآیند در ریاضیات محض به این شکل پیش می‌رود: شخصی می‌گوید: من تعریفی برای یک کاردینال (اندازه بی‌نهایت) به ذهنم رسیده است و می‌توانم اثبات کنم که این کاردینال بزرگ‌تر از تمام کاردینال‌های شناخته‌شده فعلی است. سپس، اگر اثبات او بی‌نقص باشد، این مفهوم تبدیل به جدیدترین و بزرگترین کاردینال شناخته‌شده می‌شود؛ تا زمانی که شخص دیگری کاردینال باز هم بزرگ‌تری پیدا کند.

در طول قرن بیستم، محققان به طور پیوسته مرزهای کاردینال‌های بزرگ شناخته‌شده را به جلو بردند. اما آیا این روند هرگز به پایان خواهد رسید؟ پاسخ به طور کلی بله است، اگرچه بسیار پیچیده می‌شود.

از برخی جهات، قله و سقف سلسه‌مراتب کاردینال‌های بزرگ در افق دید قرار دارد. محققان قضیه‌هایی را اثبات کرده‌اند که به نوعی سقف و محدودیتی بر احتمالات کاردینال‌های بزرگ تحمیل می‌کند. اما هنوز سوالات باز و حل‌نشده بسیاری باقی مانده است و حتی در همین چند وقت اخیر نیز کاردینال‌های جدیدی تثبیت و کشف شده‌اند. بسیار محتمل است که برای دهه‌های آینده همچنان موارد بیشتری را کشف کنیم. امیدواریم که در نهایت بتوانیم یک فهرست جامع و کامل از تمام کاردینال‌های بزرگ در اختیار داشته باشیم.

۲. ماجرای ترکیب ثابت‌های 𝜋+e چیست؟

با وجود همه چیزهایی که درباره دو مورد از معروف‌ترین ثابت‌های ریاضی، یعنی عدد پی (𝜋) و عدد نِپِر (e)، می‌دانیم، کمی تعجب‌آور است که وقتی این دو با هم جمع می‌شوند، چقدر در شناخت آن‌ها گمراه و سردرگم هستیم.

این راز و معما، تماما مربوط به اعداد حقیقی جبری است. یک عدد حقیقی زمانی جبری (algebraic) است که ریشه یک چندجمله‌ای با ضرایب صحیح باشد. اعداد صحیح شامل اعداد کامل مثبت، منفی و صفر مانند ۱، ۲-، ۶ و غیره هستند. ریشه چندجمله‌ای نیز مقداری است که اگر در فرمول جای‌گذاری شود، حاصل آن صفر می‌شود. برای مثال، معادله x²-6 یک چندجمله‌ای با ضرایب صحیح است، زیرا ۱ و ۶- اعداد صحیح هستند. ریشه‌های معادله x²-6=0 برابر با x=√6 و x=-√6 هستند، پس نتیجه می‌گیریم که 6√ و 6-√ اعدادی جبری هستند.

تمام اعداد گویا و همچنین ریشه اعداد گویا، جبری محسوب می‌شوند. بنابراین ممکن است به نظر برسد که اکثر اعداد حقیقی جبری هستند. اما مشخص شده که واقعیت کاملا برعکس است! متضاد کلمه جبری، اعداد متعالی (transcendental) است و مشخص شده که در تعاریف ریاضی برای کلمه تقریبا همه، تقریبا تمام اعداد حقیقی، متعالی هستند. خب، چه کسی جبری است و چه کسی متعالی؟

عدد حقیقی 𝜋 به ریاضیات باستان برمی‌گردد، در حالی که عدد e از قرن هفدهم شناخته شده است. شما احتمالا نام هر دو را شنیده‌اید و احتمالا فکر می‌کنید ما پاسخ هر سوال پایه‌ای که درباره آن‌ها پرسیده شود را می‌دانیم، درست است؟

خب، ما می‌دانیم که هم 𝜋 و هم e اعدادی متعالی هستند. اما به طرز عجیبی هنوز ناشناخته است که آیا مجموع آن‌ها یعنی 𝜋+e عددی جبری است یا متعالی. به طور مشابه، ما در مورد ضرب آن‌ها (𝜋e)، تقسیم آن‌ها (𝜋/e) و دیگر ترکیبات ساده آن‌ها هیچ چیز نمی‌دانیم. بنابراین، سوالات فوق‌العاده ابتدایی درباره اعدادی وجود دارد که ما آن‌ها را برای هزاران سال می‌شناسیم اما همچنان برایمان اسرارآمیز باقی مانده‌اند.

۱. آیا ثابت 𝛾 یک عدد گویا است؟

در اینجا با مسئله دیگری مواجه می‌شویم که نوشتن صورت آن روی کاغذ بسیار آسان، اما حل کردنش بسیار دشوار است. تنها چیزی که نیاز دارید، یادآوری تعریف اعداد گویا است.

اعداد گویا را می‌توان به صورت کسری به شکل p/q نوشت که در آن p و q هر دو عدد صحیح باشند. بنابراین، ۴۲ و ۱۱/۳- اعداد گویا هستند، در حالی که 𝜋 و √2 گویا نیستند (به آن‌ها گنگ می‌گویند). این یک ویژگی بسیار ابتدایی است، بنابراین احتمالا فکر می‌کنید ما به راحتی می‌توانیم تشخیص دهیم که یک عدد گویا است یا خیر، مگر نه؟

با ثابت اویلر-ماسکرونی (Euler-Mascheroni constant) با نماد 𝛾 (حرف گامای کوچک یونانی) آشنا شوید. این یک عدد حقیقی است با مقدار تقریبی ۰.۵۷۷۲ که دارای فرمولی بسته (closed form) است که چندان هم زشت به نظر نمی‌رسد (همان فرمولی که در تصویر بالا وجود دارد).

بهترین و ظریف‌ترین راه برای بیان این نمادها به زبان کلمات این است که: گاما حد اختلاف بین سری هارمونیک و لگاریتم طبیعی است. سری هارمونیک، حاصل‌جمع کسرهای متوالی به شکل ۱ + ۱/۲ + ۱/۳ و غیره است، و لگاریتم طبیعی یکی از توابع مهم و پایه‌ای در ریاضیات است. حد اختلاف آن‌ها یعنی اینکه وقتی این دو مفهوم ریاضی تا بی‌نهایت پیش می‌روند، اختلاف و فاصله بین آن‌ها در نهایت به این عدد ثابت میل می‌کند. این ثابت دارای فرمول‌های شسته‌ورفته دیگری نیز هست و در صدها فرمول مختلف در ریاضیات ظاهر می‌شود.

اما به دلایلی نامعلوم، ما حتی نمی‌دانیم که آیا ثابت 𝛾 یک عدد گویا است یا گنگ! ما این عدد را تا نیم تریلیون رقم اعشار محاسبه کرده‌ایم، با این حال هیچ‌کس نمی‌تواند به لحاظ ریاضی اثبات کند که این عدد گویا است یا خیر. پیش‌بینی رایج در میان ریاضیدانان این است که 𝛾 یک عدد گنگ (غیرگویا) است. همراستا با مثال قبلی خود یعنی 𝜋+e، در اینجا نیز با پرسش ویژگی ساده‌ای برای یک عدد شناخته‌شده مواجهیم که حتی نمی‌توانیم به آن پاسخ قطعی بدهیم.

برای ارزیابی پایداری، امنیت و نگهداری این زیرساخت، راهنمای پشتیبانی شبکه را نیز مطالعه کنید.